Question

已知椭圆经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆上一点的椭圆的切线方程为）.

Answer

（1）；（2）定点坐标为.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义可知的周长为 ，即 ，解得： ，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设 ，写出过这两点的切线方程，并代入点的坐标，得到直线的方程，求出定点.

试题解析：（1）由题意得：，

又∵椭圆过点，∴，∴，

∴椭圆的方程为.

（2）由题意得：，设，

则直线，直线，

又在上述两切线上，∴，

∴直线，

即：，由得，

∴直线过定点，且定点坐标为.

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的考查是高考的热点，其中会涉及设直线方程或设未知点的问题，当题中涉及多条直线时，需考虑哪条是关键直线，那么这条直线与圆锥曲线的交点就设出来，一般设而不求，利用韦达定理写出根与系数的关系，代入条件表达式；而本题是也是设而不求，利用两点确定直线，所以根据两点满足的方程，写出直线方程求解.