Question

已知函数

⑴若函数在区间[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；

⑵令，是否存在实数，当∈(0，]时，函数的最小值为3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由函数在上是减函数得在上恒成立，即有成立求解；（2）先假设存在实数，求导得，在系数位置对它进行讨论，结合分当时，当时，当时三种情况进行．

试题解析：⑴由条件可得f′()=2+－≤0在[1,2]上恒成立，即≤－2在[1,2]上恒成立.

而y=－2在[1,2]上为减函数，所以≤(－2x)min=－，故的取值范围为(－∞,－]

⑵设满足条件的实数存在.

∵g()=－ln，g′()=－=,∈(0,],

①当≤0时，g′()<0,g()在∈(0,]上单调递减，

∴g()min=g()=3,即有=(舍去).

②当≥即0<≤时,g′()≤0且g′()不恒为0，所以g()在∈(0,]上单调递减，

∴g()min=g()=3,即有=(舍去).

③当0<时，令g′()<0,解得0<<，则有g()在(0，)上单调递减，在(，]上单调递增.

∴g()min=g()=1+ln=3即=2.

综上，存在=2，当x∈(0，]时，函数g()的最小值为3.

考点：函数单调性的性质.