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已知函数,,. (1)证明:当时,; (2)证明:当时,存在,使得对任意的,恒有...

已知函数.

(1)证明:当时,

(2)证明:当时,存在,使得对任意的,恒有.

 

(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)构造函数,利用导数求得函数在上单调递减,故当时,,即当时;(2)构造函数,,对分成两类,讨论的单调区间,得到存在,使得对任意的,恒有. 试题解析: (1)令,,则有 当时,,所以在上单调递减, 故当时,,即当时. (2)令,, 则有 当时,,故在单调递增,, 故对任意正实数均满足题意 当时,令,得,取,对任意,有,从而在单调递增,所以,即. 综上,当时,总存在,使得对任意,恒有. 考点:函数导数与不等式. 【方法点晴】本题主要考查构造函数法证明不等式,考查含参数问题分类讨论的数学思想方法.第一问要证明,我们只需构造函数,注意到,只需利用导数,证明函数是单调递减的即可.第二问同样构造函数,由于函数的导数含有参数,所以要对参数进行分类讨论.  
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考点分析:
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