Question

如图，多面体中，面为矩形，，且．

（1）求证：平面；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）要证平面，只需证明直线垂直平面内的两条相交直线、即可；（2）要求与所成的角，即求与所成的角，解三角形可求与所成角的余弦值；（3）过作于又过作于，连接，说明为二面角的平面角，解三角形可求二面角的余弦值．

试题解析：（1）∵是矩形，∴

又，则

， ∴平面

（2）矩形，∴，即，

∴要求与所成的角，即求与所成的角．

在中，由（1）知面，

∴中，，

∴是在面内的射影，且，

∴，

，

从而与的成的角的余弦为；

（3）∵中，且，

∴面，

∴面面，为面与面的交线，

∴过作于，∴面，

又过作于，连接，从而得：，

∴为二面角的平面角．

在矩形中，对角线，

∴在中，，

由（2）知在中，，

而中，，且，∴，

∴为等腰直角三角形且为直角，

∴，

∴，

所以所求的二面角的余弦为．

考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）异面直线及其所成的角；（3）与二面角有关的立体几何综合题.

【一题多解】（1）∵是矩形，∴

又，则

，

∴平面

（2）由，及（1）结论可知两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∴

∴

∴．

∴与所成的角的余弦为．

（3）设面的一个法向量为，

∴取，

又∵，

∴设面的一个法向量为，

∴取，

∴，

所以所求的二面角的余弦为．