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已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若方程有两个相异实根,,且,证明:....

已知函数

1)求函数的单调区间;

2)若方程有两个相异实根,且,证明:.

 

(1)增区间,减区间;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)求出导函数,在函数定义或内,通过解不等式得增区间,解不等式得减区间;(2)要证明题设不等式,首先要确定的性质.由(1)函数的单调性知,同时由得,,从而,从要证明的结论可以看出 ,我们要证明,由于在上是递增的,因此可证,作差,,下面要证,设,由导数求出它的最大值,只要最大值小于0,命题即证. 试题解析:(1)的定义域为 当时 所以 在递增 当时 所以 在递减 (2)由(1)可设的两个相异实根分别为,满足 且, 由题意可知 又有(1)可知在递减 故 所以 令 令, 则. 当时,,是减函数,所以 所以当时,,即 因为, 在上单调递增, 所以,故. 综上所述: 考点:导数与单调性,导数的综合应用. 【名师点睛】研究函数的单调性问题,一般是先确定函数的定义域,再求导数,然后令,解不等式得的范围就是递增区间,令,解不等式得的范围是递减区间.在用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误.  
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