Question

一个四棱锥的三视图如图所示．

（1）求证：PA⊥BD；

（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）详见解析（2）＝．

【解析】

试题分析：（1）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得＝．

试题解析：（1）由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO．

因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，

即BD⊥PA．

（2）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，

所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，

在△POD中，PD＝2， OD＝，则∠PDO＝60°，

在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°．

所以DP⊥OQ．所以OD＝，QD＝．

所以＝．

考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系