Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（1）求证：BE∥平面PAD；

（2）若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）欲证BE∥平面PAD，而BE⊂平面EBM，可先证平面EBM∥平面APD，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形∴EM∥PD，BM∥AD BM∩EM=M，满足面面平行的判定；（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC

试题解析：（1）取PD的中点F，连结AF，FE，

又∵E是PC的中点，

∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝，

由条件知AB∥DC，且AB＝，∴ EFAB，

∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，

又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD．

（2）由（1）FE∥DC，BE∥AF，

又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，

在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，

又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC，

又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC．

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定