Question

已知曲线的方程为：，其中：且为常数．

（1）判断曲线的形状，并说明理由；

（2）设曲线分别与轴，轴交于点（不同于坐标原点），试判断的面积是否为定

值？并证明你的判断；

（3）设直线：与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求曲线的

方程．

Answer

（1）曲线是以点为圆心，以为半径的圆；（2）定值，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将曲线的方程化为曲线是以点为圆心，以为半径的圆；（2）的面积为定值．证明时先求出，|（定值）；（3）先由得 ，再对进行分类讨论得曲线的方程为.

试题解析：（1）将曲线的方程化为,即

可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆．

（2）的面积为定值．

证明如下：在曲线的方程中令，得，得点，

在曲线方程中令，得，得点，

|（定值）．

（3）圆过坐标原点，

且，

，，

，

当时，圆心坐标为，圆的半径为，

圆心到直线：的距离，

直线与圆相离，不合题意舍去，

时符合题意．

这时曲线的方程为.

考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离；3、直线与圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、点到直线的距离和直线与圆的位置关系，涉及方程思想和化归思想，综合性较强，属于较难题型.第一小题先将曲线的方程化为，从而判断出它是圆；第二小题先求出，，从而|（定值）；第三小题先由得，求出值，再对进行分类讨论得曲线的方程.