Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以

A为顶点的抛物线过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点

C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为秒．过点P作PE⊥AB

交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H

为顶点的四边形为菱形？请求出的值．

Answer

(1)；(2)，；(3)存在, 、.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用二次函数的顶点式方程求解；(2)借助题设条件运用面积公式建立目标函数求解；(3)借助计算推理和分类整合的思想进行推断求解.

试题解析：

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，

代入点C(3, 0)，可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）因为PE//BC，所以．因此．所以点E的横坐标为．将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以点G的纵坐标为．于是得到．因此．

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

（3）因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

，，，．

如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．

整理，得．解得，（舍去）．

如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．

整理，得．．所以，（舍去）．

所以，当、时，以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形．

考点：二次函数的解析式和图象性质等有关知识的综合运用．

【易错点晴】二次函数是初中数学的重要知识点之一,也是中考考试的重要内容与考点.解答本题的第一问时要充分利用题设中提供的图形信息,先运用二次函数的顶点式待定出解析式中的未知数的值.解答第二问时,先建立面积的目标函数,再运用二次函数求出当时,其面积的最大值为.第三问先假定菱形存在,再运用题设求得满足题设中的的值,从而使得问题获解.