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已知函数. (1)试讨论函数的单调性; (2)若该函数有两个不同的零点,试求: ...

已知函数.

1试讨论函数的单调性;

2若该函数有两个不同的零点,试求:

i实数的取值范围;

ii证明:.

 

(1)当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间,当时, 的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)(i);(ii)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)求函数的导数得,分为和两种情况,由导数的正负确定函数的单调性;(2)(i)由(1)可得当时,函数单调递增,最多只有一个零点,舍去;当时函数先减后增,且当时,,当时,要使得函数有两个不同的零点,只需最小值小于零即可,即,可得结果;(ii)由(i)得,由是零点得,,两式相减并取对数,把看成一个整体,得,利用分析法即证,令,即证成立即可,利用导数证明函数的单调性即可得证. 试题解析:由,则, 讨论:若,则,故在定义域上单调递增; 若,令,解得;令,解得, 综上:当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间; 当时, 的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) (i)由题意:由(1)可知, 当时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去; 时,令,解得,此时;时, ,因此会有两个零点,符合题意. 综上:实数的取值范围是 (ii)证法1:由(2)可知: 时,此时;时, ,且,因此, 由,相除后得到,取对数,令,即,要证 ,即证,即证,令,即证,构造函数, 由,单调递增,则,故不等式成立,综上 即原不等式成立. 考点:(1)利用导数判断函数的单调性;(2)函数零点个数的判断;(3)函数性质的综合应用. 【一题多解】本题主要考查利用导数判断函数的单调性,以及函数的图象判断函数零点的个数及函数性质的应用等,综合性较强,难度较大,前面两个问题属于常规题,最后一小问还可采用 由,构造函数, 由,令;令且,,则函数在和单调递减,在递增, 若与直线有两个交点,则必有, 要证,即证: ,因为函数在递增,只需证即可,即证,通分后只需证, 构造函数 由,故在上单调递增, 故,故不等式成立,综上则原命题成立.  
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期望.

 

男性公务员

女性公务员

总计

有意愿生二胎

30

15

 

无意愿生二胎

20

25

 

总计

 

 

 

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

 

 

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