Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，面，，，，，且是的中点.

（1）求证: 平面；

（2）求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）求出面的法向量，利用与法向量垂直，得到线面平行；（2）求出平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小．

试题解析：

因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得,

（1）,

设平面的一个法向量是，

由，得，

令，则.

又因为

所以，又平面，所以平面.

（2）由（1）可知平面的一个法向量是，

因为平面，所以，又因为，所以平面.

故是平面的一个法向量.

所以，又二面角为锐角，

故二面角的大小为.

考点：（1）直线与平面平行判定；（2）利用空间向量求二面角.

【一题多解】（1）取的中点，连接,

在中，是的中点，是的中点，所以,

又因为，所以且.

所以四边形为平行四边形，所以.

又因为平面，平面，故平面.