Question

在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos²α+cos²β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有      ．

Answer

cos2α+cos2β+cos2γ=2

【解析】

试题分析：本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．

【解析】
我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．

由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，

则有cos2α+cos2β=1，

我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，

∴cosα=，cosβ=，cosγ=，

∴cos2α+cos2β+cos2γ

===2．

故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．