Question

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意可得c=1，a=3，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）设P，Q，分别求出，结合相切的条件可得求出|PQ|，可得结论

试题解析：（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是

在椭圆上，

椭圆的方程是；

（2）方法1：设，则，

，

∵，∴，

在圆中，是切点，

∴，

∴，

同理，

∴，因此△的周长是定值．

方法2：设的方程为

由得

则

与圆相切

即

∵，

∵，∴，

同理，

∴，

因此△的周长是定值．

考点：椭圆的标准方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系