Question

已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ） 最大值为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及即可得出；（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值

试题解析：（Ⅰ）∵e＝＝，，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝.

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）设直线BD的方程为y＝x＋m，m≠－1，

∴⇒4x2＋2mx＋m2－4＝0，

∴Δ＝－8m2＋64＞0⇒－2＜m＜2，且m≠－1，

x1＋x2＝－m，①

x1x2＝，②

∵|BD|＝|x1－x2|＝，

设d为点A到直线BD：y＝x＋m的距离，∴d＝，

∴S△ABD＝|BD|d＝≤，当且仅当m＝±2时取等号．

因为±2∈（－2，－1）∪（－1,2），

所以当m＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程