Question

设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，的周长为16．

（Ⅰ）求椭圆的方程；                                               

（Ⅱ）求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；（Ⅱ）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题设得，

解得，所以，

故所求的方程为．

（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，将之代入的方程，得

，即．

设直线与椭圆有两个交点，

因为，所以线段中点的横坐标为， 纵坐标为 ．

故所求线段的中点坐标为

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程