Question

已知各项均为正数的数列的前项满足．

（1）求数列通项公式；

（2）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）本题中主要利用，再分解因式，可得数列是首项为，公差为的等差数列，故可得其通项公式；（2）由（1）易得，运用数列的求和方法：裂项相消法，可得，再由参数分离和数列的单调性，即可得到所求的范围，可得最小值.

试题解析：（1）当时，，解得.

当时，，整理得,

,，，

是首项为，公差为的等差数列.

（2）

.

由题意知对恒成立，

即对恒成立，

令，则，

因为对于，所以,可得.

即数列是单调递减数列，

即数列的最大值是，，即的最小值为

考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和.

【方法点晴】本题考察数列的通项公式和裂项相消法求数列的前项和，同时考查不等式恒成立的问题，主要利用参数分离和数列的单调性求最值，属于中档题.在（1）中利用时需注意分为和两种情况，在（2）问中根据通项公式的特征，利用裂项相消求其前项和，代入，运用参数分离得，结合数列单调性可得解.