Question

如图，三棱柱中，，分别为和的中点，，侧面为菱形且，，．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面 法向量，证明即可；（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

试题解析：∵，且为中点，，∴ ，

又 ，，∴ ，，又∵，∴平面，

取中点，则，即，，两两互相垂直，

以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图，

∴，，，，，，，

（1）设平面的法向量为 ，则，

，取， ∵ ，，

∴ ，又∵平面， ∴直线平面；（2）设平面的法向量为，，，，， 取， 又由（1）知平面的法向量为，设二面角为，

∵ 二面角为锐角，∴，∴二面角的余弦值为．

考点：空间向量解立体几何题．