Question

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E是BC的中点，F是PC上的一点. 

（1）若PB∥平面AEF，试确定F点位置；

（2）在（1）的条件下，若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer

（1）F为PC的中点（2）

【解析】

试题分析：（1）中由PB∥平面AEF可得到PB∥EF，借助于E是BC的中点可得到F为PC的中点；（2）由已知条件可知AE，AD，AP两两垂直，因此求解时可采用向量法，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，，首先由直线PB与平面PAD所成角的正弦值为求得PA的长度，进而求解两平面的法向量，由法向量的夹角得到二面角的大小

试题解析：（1）连结AF，EF，由PB∥平面AEF，PB平面PBC，平面PBC∩平面AEF=EF，所以PB∥EF.又在△PBC中，E是BC的中点，所以F为PC的中点.

（2）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.所以AE，AD，AP两两垂直.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（），所以=（，-1，-a），且=(，0，0）为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，由sinθ=|cos＜，＞|===

解得a=2 所以＝（,0,0），＝（，，1）

设平面AEF的一法向量为=(x1,y1,z1)，则，因此，

取z1=-1，则=(0,2,-1),

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），所以cos＜,＞=.

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

考点：1.线面平行的判定与性质；2.二面角求解