Question

已知f（x）=ax²﹣（a+1）x+1﹣b（a，b∈R）．

（1）若a=1，不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；

（2）若b=0，函数g（x）=是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；

（3）若f（﹣1）=0，且|a﹣b|≤t（t＞0），求a²+b²+b的最小值．

Answer

（1）x≥4或x≤﹣1．（2）g（x）=﹣x+为减函数．（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可．

（2）根据函数奇偶性的性质求出a的值即可．

（3）利用消元法消去b，构造关于a的函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

【解析】
（1）若a=1，则f（x）=x2﹣2x+1﹣b，

则不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，等价为不等式x2﹣2x+1﹣b≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，

即x2﹣3x+2≥b在b∈[6，17]上有解，

即x2﹣3x+2≥6，得x2﹣3x﹣4≥0，

即x≥4或x≤﹣1．

（2）若b=0，则g（x）==ax﹣（a+1）+，

若g（x）是奇函数，

则g（﹣x）=﹣g（x），即﹣ax﹣（a+1）﹣=﹣（ax﹣（a+1）+）=﹣ax+（a+1）﹣，

即﹣（a+1）=a+1，则a+1=0，则a=﹣1．

即g（x）=﹣x+，

当x＞0时，函数y=﹣x为减函数，y=为减函数，

则g（x）=﹣x+为减函数．

（3）若f（﹣1）=0，则2a+2﹣b=0，即b=2a+2，

∵|a﹣b|≤t（t＞0），

∴﹣2﹣t≤a≤﹣2+t，

a2+b2+b=a2+（2a+2）2+2a+2=5a2+10a+6，

令g（a）=5a2+10a+6，对称轴为a=﹣1，

∵t＞0，

∴﹣2﹣t＜﹣2＜﹣1，

①若0＜t≤1，则﹣2+t≤﹣1，则g（a）min=g（﹣2+t）=5t2﹣10t+6，

②若t＞1，则﹣2+t＞﹣1，则g（a）min=g（﹣1）=1．

考点：二次函数的性质；函数奇偶性的性质．