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如图,设F是椭圆:(a>b>0)的左焦点,直线l为其左准线,直线l与x轴交于点P...

如图,设F是椭圆:满分5 manfen5.com(a>b>0)的左焦点,直线l为其左准线,直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A,B,求证:AFM=BFN

(3)(理)求三角形ABF面积的最大值.

 

(1)=1.(2)见解析;(3)三角形ABF面积的最大值是3. 【解析】 试题分析:(1)由|MN|=8,知a=4,由|PM|=2|MF|,得﹣a=2(a﹣c),由此能求出椭圆的标准方程. (2)当AB的斜率为0时,∠AFM=∠BFM=0,满足题意.当AB方程为x=my﹣8,代入椭圆方程得(3m2+4)y2﹣48my+144=0,由KAF+KBF=0,得到∠AFM=∠BFN.故恒有∠AFM=∠BFN. (3)(理)S△ABF=S△PBF﹣S△PAF=|=≤,由此能求出三角形ABF面积的最大值. 【解析】 (1)∵线段MN为椭圆的长轴,且|MN|=8,∴a=4 ∵|PM|=2|MF|, ∴﹣a=2(a﹣c) ∴a2﹣ac=2ac﹣2c2, ∴2e2﹣3e+1=0, 解得e=或e=1(舍去) ∴c=2,b2=a2﹣c2=12, ∴椭圆的标准方程为=1. (2)当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFM=0,满足题意. 当AB方程为x=my﹣8,代入椭圆方程整理得 (3m2+4)y2﹣48my+144=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则,, ∴KAF+KBF= = ==0 ∴KAF+KBF=0,从而∠AFM=∠BFN 综上可知,恒有∠AFM=∠BFN. (3)(理)∵P(﹣8,0),F(﹣2,0),∴|PF|=6, ∴|y2﹣y1|= = =, ∴S△ABF=S△PBF﹣S△PAF =﹣ =| = = ≤ 当且仅当3 即m2=(此时适合△>0的条件)时取等号 ∴三角形ABF面积的最大值是3. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.  
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考点分析:
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