Question

已知圆C：x²+y²﹣2x+4my+4m²=0，圆C₁：x²+y²=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．

（1）求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；

（2）当m为何值时，圆C与圆C₁的公共弦平行于直线l；

（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）8；（2）m=；（3）这样的圆不存在．

【解析】

试题分析：（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；

（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；

（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论．

【解析】
（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，

所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，

圆被直线l截得的弦长为．…（4分）

（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，

因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，

则≠，

解得：m=…（7分）

经检验m=符合题意，故所求m=； …（8分）

（3）假设这样实数m存在．

设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|

所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上． …（10分）

设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，

则

消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0

因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0

所以方程25m2﹣36m+54=0无实数根，

所以，假设不成立，即这样的圆不存在．

考点：相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定．