Question

已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先根据椭圆有一个顶点为，可知长轴，又， 从而得： ，可求出，即可求出椭圆方程.

（2）分直线的斜率存在与不存在分类讨论，（1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，消去， 并整理得，利用和点差法即可求出结果.

【解析】
（1）因为椭圆有一个顶点为，故长轴，又， 从而得：，，∴椭圆的方程； (3分)

（2）依题意，直线过点且斜率不为零.

（1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； (4分)

（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, (5分)

由方程组

消去， 并整理得，

设,, 又有，则

∴ (7分)

∴ ， ∴，

， (9分)

， .

且 ． (11分)

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：． (12分)

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.