Question

设不等式的解集为,.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）|1－4ab|＞2|a－b|

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将f(x)＝|x－1|－|x＋2|化为分段函数，根据分段函数的值域，将不等式化为不等式－2＜－2x－1＜0，解得集合M，由从而得出的取值范围，利用含绝对值不等式性质及的取值范围，利用放缩法，即可推出所证不等式；（Ⅱ）先用作出比较法比较|1－4ab|2与4|a－b|2的大小，再利用不等式的开方性质，即可比较出与的大小.

试题解析：（Ⅰ）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝

由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，则M＝(－，). 3分

所以|a＋b|≤|a|＋|b|＜×＋×＝. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)

＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分

所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|. 10分

考点：含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，放缩法，比较法，不等式性质，运算求解能力,转化与化归思想，分类整合思想