Question

如图，四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径，于点,平分.

（Ⅰ）证明：是⊙的切线

（Ⅱ）如果,求.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结OA，由OA=AD知∠OAD＝∠ODA，由平分知，∠BDA=∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，由内错角相等两直线平行得OA∥CE，因为AE⊥CE，所以OA⊥AE，故AE是圆O的切线；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，所以＝，即BD＝2AD，所以所以∠ABD＝30，从而∠DAE＝30，在直角三角形AED中，求出DE，再由切割线定理得AE2＝ED·EC=ED·（CD+DE），即可求得CD的值.

试题解析：（Ⅰ）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．

因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．

所以AE是⊙O的切线. 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

所以＝，即＝，则BD＝2AD，

所以∠ABD＝30，从而∠DAE＝30，

所以DE＝AEtan30＝．

由切割线定理，得AE2＝ED·EC，

所以4＝ (＋CD)，所以CD＝. 10分

考点：切线的判定，相似三角形的判定与性质，切割线定理.