Question

已知函数（）.

（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，（），求证：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出的定义域及导函数，由函数在定义域内单调递增知，≥0在定义域内恒成立，通过参变分离化为在定义域内恒成立，求出的最小值，即≤即为的取值范围；（Ⅱ）先将关于的方程在[1,4]上恰有两个不等实根转化为方程 =在[1,4]上恰有两个不等实根，即函数y=（x∈[1,4]）图像与y=b恰有两个不同的交点，利用导数通过研究函数y=（x∈[1,4]）的单调性、极值、最值及图像，结合y=（x∈[1,4]）的图像，找出y=（x∈[1,4]）与y=b恰有两个交点时b的取值范围，即为所求;（Ⅲ）利用（x≠1），将放缩为即，通过累积，求出的范围，即为所证不等式.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，

，依题意在时恒成立，

则在时恒成立，即，

当时，取最小值-1，所以的取值范围是 4分

（Ⅱ），由得在上有两个不同的实根，

设

，时，，时，

，，

，得

则 8分

（Ⅲ）易证当且时，.

由已知条件，

故所以当时，，相乘得又故，即 12分

考点：常见函数的导数，导数的运算法则，导数函数单调性关系，导数的综合应用，利用导数证明不等式，运算求解能力.