Question

如图，是圆内两弦和的交点，过延长线上一点作圆的切线，为切点，已知．求证：

（Ⅰ）∽；

（Ⅱ）∥．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析（Ⅰ）由切割线定理得FG2＝FA·FD．由已知EF＝FG，由等量代换得EF2＝FA·FD，化为＝，因为∠EFA＝∠DFE，由相似三角形的判定定理得△FED∽△EAF；

（Ⅱ）由（Ⅰ）△FED∽△EAF，由相似三角形性质知，∠FED＝∠FAE，由同弧所对的圆周角相等知，∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，由等量代换得，∠FED＝∠BCD，由同位角相等两直线平行得EF∥CB，即证出所证结论．

试题解析：（Ⅰ）由切割线定理得FG2＝FA·FD．

又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，即＝．

因为∠EFA＝∠DFE，所以△FED∽△EAF. 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED＝∠FAE．

因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，

所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB. 10分

考点：切割线定理，相似三角形判定与性质，圆周角定理，两直线平行的判定