Question

已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值.

Answer

(1);（2）.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：(Ⅰ)因为e=,b=1,所以a=2,

故椭圆方程为. 4分

(Ⅱ)设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

联立，解得 (1+4k2)x2+8kx=0, 7分

因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以x1+x2=，x1×x2=0，

∵ ∴

点M在椭圆上，则m2+4n2=4,∴,化简得

x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, 10分

∴4k·()+4=0,解得k=±.故直线l的斜率k=±. 12分

考点：(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题.