Question

已知定义在上的三个函数，，，且在处取得极值．

（1）求a的值及函数的单调区间．

（2）求证：当时，恒有成立．[来源

Answer

（1），单调递增区间是；单调递减区间是．

【解析】

试题分析：解题思路：（1）求导函数，利用求值，再利用导数求单调区间；（2）作差，构造函数，求最值，即证明不等式恒成立．规律总结：（1）求函数的单调区间的步骤：①求导函数；②解；③得到区间即为所求单调区间；（2）证明不等式恒成立问题，往往转化为求函数的最值问题．

试题解析：（1），，，

∴．

而，，令得；令 得．∴函数单调递增区间是；单调递减区间是．

（2）∵，∴，∴，

欲证，只需要证明，即证明．

记，∴，

当时， ，∴在上是增函数，

∴，∴，即，

∴，故结论成立．

考点：1．函数的单调区间；2．不等式恒成立问题．