Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x²（x≥0）；
②f（x）=e^x（x∈R）；
③f（x）=（x≥0）；
④f（x）=．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．①③

Answer

根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”
【解析】
函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或
①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则，∴∴
∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则，∴
构建函数g（x）=ex-2x，∴g′（x）=ex-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴ex-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③，=
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，则，必有，
必有m，n是方程的两个根，
必有m，n是方程的两个根，
由于存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C．