Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD⊥平面AC，在△PAD中，E为AD中点，PA=PD．
（I）证明：PA⊥BE；
（II）若，求点D到平面PBC的距离．

Answer

（I）先证明BE⊥AD，利用侧面PAD⊥平面AC，可得BE⊥侧面PAD，从而可得PA⊥BE；
（II）先证明点D到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，平面PBC⊥平面PEB，再利用等面积，可求点D到平面PBC的距离．
（I）证明：∵底面ABCD为菱形，E为AD中点，
∴不妨设AB=2AE=2a
∵∠DAB=60°，∴BE2=AB2+AE2-2AB•AEcos60°=3a2，
∴BE=a，∴AB2=BE2+AE2，
∴BE⊥AD
∵侧面PAD⊥平面AC，BE⊂平面AC，侧面PAD∩平面AC=AD，
∴BE⊥侧面PAD
∵PA⊂侧面PAD
∴PA⊥BE；
（II）【解析】
∵AD∥BC，∴点D到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．
∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD
∵BE⊥AD，BE∩PE=E
∴AD⊥平面PEB
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEB
过E作EH⊥PB，垂足为H，则EH⊥平面PBC，故EH为所求
∴由等面积可得=．