Question

某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和众数；
（3）请根据频率分布直方图估计这次考试的中位数和平均分．

Answer

（1）根据各组的频率和等于1，利用1将去已知各组的频率，从而可求出第四组的频率，画出直方图即可；
（2）依题意，利用组中值估算抽样学生的平均分，然后计算75分以上的频率和乘以总人数即可估算出参加这次考试75分以上的人数．
【解析】
（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：f4=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3．
其频率分布直方图如图所示．

（2）依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.75．
所以，估计这次考试的合格率是75%．
由于第四组的频率最高
故众数为第四组的组中75．
（3）由0.1+0.15+0.15=0.4，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7，
可知中位数在第四小组内，设这次考试的中位数为x，
则0.1+0.15+0.15+0.030（x-70）=0.5，解得x=73.3
利用组中值估算这次考试的平均分为
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
所以估计这次考试的平均分是71分．