Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=-，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：-≤T_n＜-．

Answer

（I）确定数列{lg（an+3）}是以lg（a1+3）=lg5为首项，以2为公比的等比数列，从而可得数列{an}的通项公式；
（II）确定数列的通项，再求和，从而可得结论．
（I）【解析】
由an+1=an2+6an+6得：an+1+3=（an+3）2     
两边同时取对数得：lg（an+1+3）=2lg（an+3）
∴数列{lg（an+3）}是以lg（a1+3）=lg5为首项以2为公比的等比数列
∴lg（an+3）=lg5•2n-1
∴an=-3                 …（4分）
（II）证明：∵an2+6an=an+1-6，
∴bn=-               …（6分）
∴Tn=-+…+-=-=--  …（9分）
∵n≥1，∴2n≥2，∴≥25
∴-9≥16，∴0＜≤
∴-≤-＜0，
∴-≤--＜-
∴-≤Tn＜-             …（12分）