Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）由Sn=2-an，知S1=2-a1，an=Sn-Sn-1=（2-an）-（2-an-1），得，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn+1=bn+an，且，知bn-1-bn=（）n-1，由此利用叠加法能求出．
【解析】
（1）∵Sn=2-an，∴当n=1时，S1=2-a1，∴a1=1，
当n≥2时，Sn-1=2-an-1，
∴an=Sn-Sn-1=（2-an）-（2-an-1），得，
∴数列{an}是以貌取人为首项，为公比的等比数列，
∴数列{an}的通项公式是．
（2）由bn+1=bn+an，且，
∴bn-1-bn=（）n-1，
则，，，…，bn-bn-1=（）n-2，
以上n个等式叠加得：

=
=2[1-（）n-1]
=2-，
∵b1=1，∴．