Question

在△ABC中，cosA•cosB+cosA•sinB+sinAcosB+sinA•sinB=2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．等腰非等边的锐角三角形
C．非等腰的直角三角形
D．等腰直角三角形

Answer

逆用两角和的正弦与两角差的余弦公式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性即可判断△ABC的形状．
【解析】
∵cosA•cosB+sinA•sinB=cos（A-B），
cosA•sinB+sinAcosB=sin（A+B），
∴在△ABC中，cosA•cosB+cosA•sinB+sinAcosB+sinA•sinB=2⇔cos（A-B）+sin（A+B）=2，①
又-1≤cos（A-B）≤1，
-1≤sin（A+B）≤1，
∴-2≤cos（A-B）+sin（A+B）≤2，
由①知，cos（A-B）=1且sin（A+B）=1．
∴A=B=．
故△ABC是等腰直角三角形．
故选D．