Question

正数数列{a_n}的前n项和S_n，满足4S_n=（a_n+1）²，试求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，数列的前n项的和为B_n，求证：B_n＜；
（3）设c_n=a_n•（）ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由4Sn=（an+1）2，利用迭代法能求出an=2n-1．
（2）由==，利用裂项求和法能够证明Bn＜．
（3）由an=2n-1，知cn=an•（）n=（2n-1）•（）n，利用错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵4Sn=（an+1）2，
∴4Sn-1=（an-1+1）2，n≥2，
作差，得4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴4an=（an+an-1+2）（an-an-1），
整理，得（an+an-1）（an-an-1-2）=0．
∵{an}正数数列，∴an-an-1=2，
由2=a1+1，得a1=1，
∴an=2n-1．…（4分）
（2）∵==，
∴数列的前n项的和
Bn=…+
=，
故Bn＜．…（9分）
（3）∵an=2n-1，
∴cn=an•（）n=（2n-1）•（）n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=1+3•+5•（）3+…+（2n-3）•（）n-1+（2n-1）•（）n，
Tn=1•+3•（）3+5•（）4…+（2n-3）•（）n+（2n-1）•（）n+1，
∴=+2•（）2+2•（）3+2•（）4+…+2•（）n-（2n-1）•（）n+1
=2×[+（）2+（）3+（）4+…+（）n]--（2n-1）•（）n+1
=2×--（2n-1）•（）n+1
=1-（）n--（2n-1）•（）n+1
=-（）n-（2n-1）•（）n+1，
∴Tn=1--（2n-1）（）n+1=1-．