Question

函数f（x）=asin2x+2cos2x的最大值为3．
（1）求实数a的值；                   
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．
（2）分别通过a的值，利用正弦函数与余弦函数的单调性求出函数的单调增区间即可．
【解析】
（1）函数f（x）=asin2x+2cos2x
=asin2x+cos2x+1
=sin（2x+φ）+1，…（2分）
因为函数f（x）=asin2x+2cos2x的最大值为3，
∴，解得a=；  …（4分）
（2）当a=时，函数f（x）=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
由2kπ-≤2kπ+≤2k，得，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z…（7分）
当a=-时，函数f（x）=-sin2x+cos2x+1
=2scos（2x+）+1，
由，得，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z…（10分）