Question

过抛物线x²=4y的焦点的直线交抛物线于A、B两点，抛物线分别在A、B两点处的切线交于Q点，则点Q的纵坐标是    ．

Answer

先求出抛物线x2=4y的焦点坐标，得过抛物线x2=4y的焦点的直线方程，将所得方程与抛物线x2=4y联解，消去y得：x2-4kx-4=0，根据韦达定理得x1x2=-4．再用函数求导数的方法，得抛物线过A点的切线方程为y-y1=x1（x-x1），化简得y=x1x-x12，同理得到在点B处切线方程为y=x2x-x22，两方程消去x，得两切线交点Q纵坐标满足yQ=，可得点Q的纵坐标是-1．
【解析】
∵抛物线x2=4y的焦点为F（0，1）
∴设过抛物线x2=4y的焦点的直线为y=kx+1．
设直线与抛物线的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得：x2-4kx-4=0，根据韦达定理，得x1x2=-4，
抛物线x2=4y，即二次函数y=x2，对函数求导数，得y'=x，
所以抛物线在点A处的切线斜率为k1=x1，
可得切线方程为y-y1=x1（x-x1），化简得y=x1x-x12，
同理，得到抛物线在点B处切线方程为y=x2x-x22，两方程消去x，
得两切线交点Q纵坐标满足yQ=
∵x1x2=-4，
∴yQ=-1，即点Q的纵坐标是-1．
故答案为：-1