Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0））的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0
（1）证明：是f（x）=0的一个根
（2）试比较与c的大小
（3）证明：-2＜b＜-1．

Answer

（1）由题意得c、是方程f（x）=0的两个根，
（2）欲比较 与c的大小，利用反证法去证明 ＜c不可能，从而得到 ＞c；
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（，0），结合图象得：对称轴在x=c与x=之间，从而得出结论．
证明：（1）∵f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x1，x2满足 ，
又f（c）=0，不妨设x1=c∴．
（2）假设
由0＜x＜c时，f（x）＞0，得 矛盾∴
∵f（x）=0的两个根不相等
∴
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（，0），
∴对称轴在x=c与x=之间，即c＜-＜，
即-2ac＞b＞-2，
从而：-2＜b＜-1．