Question

（1）已知z的共轭复数是，且，求z．
（2）已知z是虚数，求证：为实数的充要条件是|z|=1．

Answer

（1）可设z=a+bi，则=a-bi，（a，b∈R）代入，利用复数相等的条件求出a，b的值，即可求出z；
（2）可设z=a+bi，，（a，b∈R）根据充要条件证明的格式，充分性由|z|=1证是实数，必要性由是实数证|z|=1
【解析】
（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，代入，得a2+b2-3ai+3b=1+3i
故有得，
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得=1，即，故=2a，是实数
必要性：由为实数，即a+bi+=a++（b-）i是实数，
即b-=0，可得a2+b2=1，故有|z|=1
综上证明知，为实数的充要条件是|z|=1