Question

已知xⁿ=a+a₁（x+3）²+…+a_n-1（x+3）^n-1+a_n（x+2）ⁿ，（n≥2）．
（1）求a_n和a_n-1；
（2）将a记为第一项系数，a₁记为第二项系数，…a_n记为第n项系数，求式子奇数项系数和．

Answer

（1）从xn的系数来看可求出an，从xn-1的系数来看可求出an-1；
（2）讨论n的奇偶，然后令x=-2与令x=-4，将两式相加可求出式子奇数项系数和．
【解析】
（1）从xn的系数来看，an=1
从xn-1的系数来看，an-1+an=0⇒an-1=-2n
（2）当n为奇数时，奇数项系数和为a+a2+a4+…+an-1
在中
令x=-2得到（-2）n=a+a1+a2+…+an-1
令x=-4得到
相加得到
当n为偶数时，奇数项系数和为a+a2+a4++an
令x=-2得到（-2）n=a+a1+a2+…+an-1
令x=-4得到
相加得到
所以a+a2+a4+…+an=