Question

中国队与韩国队进行6场乒乓球表演赛，中国队3名女子单打的胜率分别为，中国队3名男子单打的胜率均为，且各场比赛结果互不影响．
（1）求3名女子单打全胜的概率；
（2）在6场比赛中，中国队男女各胜一场的概率；
（3）中国队获胜场次ξ的分布列和期望（结果保留小数点后一位数）．

Answer

（1）根据中国队3名女子单打的胜率分别为，可求3名女子单打全胜的概率；
（2）设Ai表示男子比赛获胜的场次k=0，1，2，3，Bi表示女子比赛获胜的场次 i=0，1，2，3，则Ai，Bi独立，利用独立重复试验中事件发生的概率公式，可求中国队男女各胜一场的概率；
（3）确定ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5，6，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解析】
（1）∵中国队3名女子单打的胜率分别为，∴3名女子单打全胜的概率P=
（2）设Ai表示男子比赛获胜的场次k=0，1，2，3，Bi表示女子比赛获胜的场次 i=0，1，2，3，则Ai，Bi独立．
由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=
∴P（A）=，P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=；P（B）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=
中国队男女各胜一场的概率为P（A1•B1）=×=
（3）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5，6．
P（ξ=0）=P（A•B）=，P（ξ=1）=P（A•B1）+P（A1•B）=，
P（ξ=2）=P（A•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B）=，
P（ξ=3）=P（A•B3）+P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A3•B）=
P（ξ=4）=P（A1•B3）+P（A2•B2）+P（A3•B1）=
P（ξ=5）=P（A2•B3）+P（A3•B2）=
P（ξ=6）=P（A3•B3）=
综上知，ξ的分布列

ξ 1 2 3 4 5 6
P

从而，ξ的期望Eξ==≈3.7