Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，当n∈N⁺时，S_n=a_n-n-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n，并用数学归纳法证明你的猜想；
（3）已知，求a的取值范围．

Answer

（1）根据a1=1，当n∈N+时，Sn=an-n-1，可求得a2，a3，a4；
（2）猜想，再用数学归纳法证明：当n=1时，经验证成立；假设当n=k，（k≥1）时结论成立，即，则当n=k+1时，有sk=ak+1-k-1；sk-1=ak-（k-1）-1，两式相减即可证得；
（3），即，进而可得，从而可求a的取值范围．
【解析】
（1）∵a1=1，当n∈N+时，Sn=an-n-1
∴S2=a2-3，∴a2=3；S3=a3-4，∴a3=7；S4=a4-5，∴a4=15
（2）猜想
证明：当n=1时，经验证成立
假设当n=k，（k≥1）时结论成立，即
则当n=k+1时，有sk=ak+1-k-1；sk-1=ak-（k-1）-1，
两式相减得到ak=ak+1-ak-1，∴ak+1=2ak+1，∴
所以当n=k+1时，结论成立      
综上所述：
（3），即
则，得到
∴
∴-3＜a＜-1