Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且P 为AD的中点，Q为SB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求证：PQ∥平面SCD；
（Ⅲ）若SA=SD，M为BC中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）证明CD⊥AD，然后证明CD⊥平面SAD．
（Ⅱ）取SC的中点R，连QR，DR．推出PD=BC，QR∥BC且QR=BC．然后证明四边形PDRQ为平行四边形，即可证明PQ∥平面SCD．
（Ⅲ）存在点N为SC中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，证明NO∥SP，NO⊥平面ABCD，然后证明平面DMN⊥平面ABCD．
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD为正方形，则CD⊥AD．…（1分）
又平面SAD⊥平面ABCD，
且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD．…（3分）
（Ⅱ）取SC的中点R，连QR，DR．
由题意知：PD∥BC且PD=BC．…（4分）
在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，
所以QR∥BC且QR=BC．
所以QR∥PD且QR=PD，
则四边形PDRQ为平行四边形．…（7分）
所以PQ∥DR．又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，
所以PQ∥平面SCD．  …（10分）
（Ⅲ）存在点N为SC中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．      …（11分）
连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，
因为PD∥CM，并且PD=CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO．
又因为N为SC中点，
所以NO∥SP．…（12分）
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，
所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD，…（13分）
又因为NO⊂平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．…（14分）