Question

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，c=2，求的值．

Answer

（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后根据sinA不为0，求出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，然后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子后，将各自的值代入即可求出值．
【解析】
（Ⅰ）由a-2bsinA=0，
根据正弦定理得：sinA-2sinBsinA=0，…（3分）
∵sinA≠0，∴sinB=，…（5分）
又B为锐角，
则B=；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=，
∵b=，c=2，
根据余弦定理得：7=a2+4-4acos，…（8分）
整理得：a2-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA===，…（11分）
则•=||•||cosA=cbcosA=2××=1．…（13分）