Question

已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．
（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是    ；
（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n为正整数），则m，n的值分别为    ．

Answer

（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=7；第二次c=31；第三次c=255；
（2）p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）-1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13-1，故可得结论
【解析】
（1）a=1，b=3，按规则操作三次，
第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7
第二次，7＞3＞1所以有：c=3×7+3+7=31
第三次：31＞7＞3所以有：c=7×31+7+31=255
2、p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1
因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1
第四次可得：c4=（c3+1）（c2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1
故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13-1
∴m=8，n=13
故答案为：255；8，13