Question

本题共3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分6分．
如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”（点D在线段BC上），设AB长为a，BC长为b，∠BAD=θ．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S₁与种花的面积S₂的比值称为“草花比y”．
（1）求证：正方形BEFG的边长为；
（2）将草花比y表示成θ的函数关系式；
（3）当θ为何值时，y有最小值？并求出相应的最小值．

Answer

（1）设正方形BEFG的边长t，则AE=a-t，利用相似比建立等式，从而可以证明；
（2）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；
（3）设tanθ=x，则括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值．
【解析】
（1）设正方形BEFG的边长t，则AE=a-t，由=，得
（或：因为AE=tcoθ，a-t=tcoθ），解得，（5分）
（2）BD=atanθ，△ABD的面积为，
则                          （8分）
所以（10分）
（3）设tanθ=x，则
①当a≤b时，，x=1即时取最小值，最小值为1．            （14分）
②当a＞b时，x∈（0，]，＜1，是减函数，
所以当时取最小值，最小值为（16分）