Question

函数f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，则f（1）的值等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

先确定f（1）≥2，进而可确定f（2）≤f（f（1））=3，f（3）≥f（f（2））=6，f（6）≤f（f（3））=9，从而可得结论．
【解析】
∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，且f（1）≠1 （若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=3，与f（1）=1矛盾）
∵f（x）∈N*
∴f（1）≥2
∵f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，f[f（n）]=3n 
∴f（2）≤f（f（1）），∵f（f（1））=3，∴f（2）≤3
∴f（3）≥f（f（2）），∵f（f（2））=6，∴f（3）≥6
∴f（6）≤f（f（3）），∵f（f（3））=9，∴f（6）≤9
∵当n∈N*时，f（n）∈N*，即f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）均为整数，
且f（x）为定义域内的增函数，
∴f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）＜f（5）＜f（6）
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=7，f（5）=8，f（6）=9
故选B．