Question

如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列说法中，错误的是（ ）

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．异面直线A′E与BD不可能垂直
C．三棱锥A′-FED的体积有最大值
D．恒有平面A′GF⊥平面BCED

Answer

由斜线的射影定理可判断A正确；由异面直线所成的角的概念可判断B不正确；由三棱锥的体积计算公式，可判断C正确；由面面垂直的判定定理，可判断D正确；
【解析】
：∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；
∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直，故B不正确；
∵三棱锥A′-FED的底面面积S△FED的面积为定值，由（1）知，A′到AF的距离即为此三棱锥的高，故当平面ADE⊥平面DEF时，三棱锥的高最大为A′C，从而三棱锥体积最大，故C正确
由A知，平面A'GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A'GF⊥平面BCED，故D正确；
故选 B