Question

已知函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，可得x=0是极大值点，从而f'（0）=0，故可求c的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=0或-2b，根据-b是方程f（x）=0的一个根，可得f（x）=x3+3bx2-2b3=（x+b）（x2+2bx-2b2），从而可得方程x2+2bx-2b2=0的根的判别式△=4b2-4（-2b2）=12b2＞0，结合（-b）2+2b（-b）-2b2=-3b2≠0，可得结论；
（Ⅲ）根据函数的单调性可知x=0是极大值点，从而可得-2＜b≤-1，构造函数g（b）=f（1）=-2b3+3b+1，可得g（b）在（-2，-1]上单调递减，即可求得f（1）的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
求导函数，可得f'（x）=3x2+6bx+c
∵函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，
∴x=0是极大值点，
∴f'（0）=0，∴c=0…（2分）
（Ⅱ）证明：令f'（x）=0，得x=0或-2b
由f（x）的单调性知-2b≥2，∴b≤-1
∵-b是方程f（x）=0的一个根，则（-b）3+3b（-b）2+d=0⇒d=-2b3
∴f（x）=x3+3bx2-2b3=（x+b）（x2+2bx-2b2）…（4分）
方程x2+2bx-2b2=0的根的判别式△=4b2-4（-2b2）=12b2＞0
又（-b）2+2b（-b）-2b2=-3b2≠0，
即-b不是方程x2+2bx-2b2=0的根，∴f（x）=0有不同于-b的根x1、x2．
∵x1+x2=-2b，∴x1、-b、x2成等差数列                   …（8分）
（Ⅲ）【解析】
根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f（0）＜16⇒-2b3＜16，∴b＞-2，于是-2＜b≤-1
令g（b）=f（1）=-2b3+3b+1
求导g'（b）=-6b2+3-2＜b≤-1时，g'（b）＜0，
∴g（b）在（-2，-1]上单调递减
∴g（-1）≤g（b）＜g（-2）
即0≤f（1）＜11…（14分）