Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，从而xf′（x）≤x2+ax+1可转化为lnx-x≤a，令g（x）=lnx-x，求出函数的最值，即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0，可证0＜x＜1时，f（x）≤0；x≥1时，f（x）≥0，从而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=．…（4分）
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分）
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分）
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0…（13分）